Question

4．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別為CD、AB的 三等分點(diǎn)，現(xiàn)將矩形ABCD對折，使頂點(diǎn)B恰落在MN上的點(diǎn)P處，延長EP交AD邊于F．若AB=2$\sqrt{5}$，則折痕AE的長為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P作AB的平行線交BC于G，交AD于H，設(shè)BE=x，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出PE，證明△EGP∽△PHA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出x，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：過點(diǎn)P作AB的平行線交BC于G，交AD于H，
設(shè)BE=x，
由翻折變換的性質(zhì)可知，PA=AB=2$\sqrt{5}$，PE=BE=x，
∵N為AB的三等分點(diǎn)，AB=2$\sqrt{5}$，
∴PH=AN=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴AH=$\sqrt{P{A}^{2}-P{H}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴GB=$\frac{10}{3}$，GE=$\frac{10}{3}$-x，
∵∠EPA=∠B=90°，∠EGP=∠PHA=90°，
∴△EGP∽△PHA，
∴$\frac{EG}{PH}$=$\frac{EP}{PA}$，即$\frac{\frac{10}{3}-x}{\frac{4}{3}\sqrt{5}}=\frac{x}{2\sqrt{5}}$，
解得，x=2，即BE=2，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．