Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABD=∠CBD=60°，AC與BD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）判斷△ACD的形狀，并加以證明
（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ABD=∠CBD=60°，

∴∠CAD=∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD=60°，

∴△ACD是等邊三角形；

（2）解：在△ACF與△DCE中，

∴△ACF≌△DCE，

∴AF=DE=4，CE=CF=2，

∵CF是⊙O的切線，

∴FC2=FBAF，

∴22=FB4，

∴FB=1

∴AB=AF﹣BF=4﹣1=3，

∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，

∴△∠ABE∽∠DCE，

∴ = = = ，

∴ = ，

解得：CD=3．

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DE=4，CE=CF=2，根據(jù)切線的性質(zhì)得到FC2=FBAF，求得FB=1根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．