Question

16．過邊長為2的正方形的中心O引兩條相互垂直的射錢，分別與正方形的邊交于A，B兩點，則線段AB的長可能為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先證明△AOE≌△DOF，進(jìn)而得到OE=OF，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出OE的范圍，借助勾股定理即可解決問題．

解答 解：如圖所示：
∵四邊形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，
在△COA和△DOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCA=∠ODB}\\{OC=OD}\\{∠AOC=∠DOB}\end{array}\right.$，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA=OB，
設(shè)OA=OB=a，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB²=OA²+OB²=2a²，
由題意可得：1≤a≤$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤AB≤2，
∵$\sqrt{2}$＞1，$\sqrt{5}$＞2，2$\sqrt{2}$＞2，都不合題意，
只有$\sqrt{2}$＜$\sqrt{3}$＜2，符合題意．故選B．

點評 該題以正方形為載體，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等幾何知識點的應(yīng)用問題；牢固掌握全等三角形的判定等幾何知識點，是靈活解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．