Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D．

（1）如圖1，過點(diǎn)C作 CF⊥AD于F，延長CF交AB于點(diǎn)E．聯(lián)結(jié)DE．
①說明AE=AC的理由；
②說明BE=DE的理由；
（2）如圖2，過點(diǎn)B作直線BM⊥AD交AD延長線于M，交AC延長線于點(diǎn)N．說明CD=CN的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①根據(jù)角平分線的定義可得∠EAD=∠CAD，根據(jù)垂直的定義可得∠AFE=∠AFC=90°，然后利用“角邊角”證明△AEF和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；②利用“邊角邊”證明△AED和△ACD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠ACB，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AED=∠B+∠BDE，然后求出∠B=∠BDE，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可；
（2）連接DN，易得△ABM和△ANM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=AN，再利用“邊角邊”證明△ABD和△AND全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABD=∠AND，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACB=∠CDN+∠AND，然后求出∠CDN=∠CND，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可．

解答：解：（1）①∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵CF⊥AD，
∴∠AFE=∠AFC=90°，
在△AEF和△ACF中，

∠EAD=∠CAD AD=AD ∠AFE=∠AFC

，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE=AC；
②在△AED和△ACD中，

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠ACB
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE；

（2）連接DN，易證△ABM≌△ANM，
所以AB=AN，
在△ABD和△AND中，

AB=AN ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ABD≌△AND（SAS），
∴∠ABD=∠AND，
∵∠ACB=2∠B，即∠ACB=2∠ABD，
∴∠ACB=2∠AND，
又∵∠ACB=∠CDN+∠AND，
∴∠CDN=∠AND，
∴CD=CN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（2）難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．