Question

已知，如圖A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)E為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線CE的垂線，垂足為D，交y軸于N點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)E（t，0），△BEN的面積為S，請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）已知點(diǎn)F是拋物線y=ax²+bx+c上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是坐標(biāo)平面上的一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)B、E、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三點(diǎn)，由待定系數(shù)法可以直接求出拋物線的解析式；
（2）由條件可以證明△COE≌△BON，可以求得ON=OE，分3種情況表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在移動(dòng)的過(guò)程中，由四邊形BEFG是正方形，且點(diǎn)F在拋物線上就有BE=EF，設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，從F在x軸的下方和上方就可以求出F的橫作標(biāo)，就求出了E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，則

0=a-b+c 0=9a+3b+c c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∵BD⊥CD，
∴∠BDE=90°，
∵∠BED=∠CEO，
∴∠OBN=∠OCE，
∴△COE≌△BON，
∴ON=OE，
∴當(dāng)0≤t≤3時(shí)，S=-

1

2

t²+

3

2

t，
當(dāng)t＞3時(shí)，S=

1

2

t²+

3

2

t，
當(dāng)t＜0時(shí)，S=

1

2

t²-

3

2

t；

（3）∵四邊形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
當(dāng)F在x軸下方時(shí)，設(shè)F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴（3-a）=-（a²-2a-3），
解得：a₁=0，a₂=3（不符合題意，舍去），
∴E（0，0），
當(dāng)F在x軸上方時(shí)，設(shè)F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴3-a=a²-2a-3，
∴a₁=-2，a₂=3（不符合題意，舍去），
∴E（-2，0），
綜上所述，E（0，0）或（-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，正方形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)．