Question

已知：D為⊙O上一點(diǎn)，C為的中點(diǎn)，弦AB、CD相交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使ED=EH．
（1）求證：直線ED與⊙O相切；
（2）若⊙O半徑為2，=π，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OD，OC，OC交AB于F，
∵C為弧AB中點(diǎn)，OC為半徑，
∴OC⊥AB，
∴∠CFH=90°，
∴∠C+∠FHC=90°，
∵∠DHE=∠CHF，
∴∠C+∠DHE=90°，
∵DE=EH，OD=OC，
∴∠EDH=∠DHE，∠C=∠ODC，
∴∠ODC+∠EDH=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD為半徑，
∴直線ED與⊙O相切；

（2）解：連接OA、OB，
∵⊙O半徑為2，弧AB=π，設(shè)∠AOB=n°，
∴=π，
n=90，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=45°，AB=2AF，
∴cos45°=
∵OA=2，
∴AF=，
AB=2AF=2．
分析：（1）連接OD，OC，OC交AB于F，根據(jù)垂徑定理得出OC⊥AB，求出∠C+∠FHC=90°，根據(jù)∠DHE=∠CHF，∠EDH=∠DHE，∠C=∠ODC，推出∠ODC+∠EDH=90°，得出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出∠AOB，求出∠AOC，根據(jù)解直角三角形求出AH，即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．