等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,BC=2AB,P是BC的中點,∠MPN=60°,PM與直線AB交于點M,與直線AD交于點N.
(1)如圖一,當點M、N分別在線段AB、AD上時,求證:AM+AN=
1
2
BC.
(2)如圖二,當點M、N分別在線段AB、AD的延長線上時,請直接寫出線段AM、AN、BC的關(guān)系式.
(3)在(2)的條件下,MP交AD于點E,PN交CD于點F,連結(jié)EF,若AE:DE=1:2,EF=2
7
,求BN的長.
考點:四邊形綜合題
專題:
分析:(1)連接AP,根據(jù)條件證明△MBP≌△NAP就可以得出MB=NA,就可以得出結(jié)論;
(2)如圖2,連接AP,證明△BPM≌△APN就可以得出BM=AN,由四邊形APCD是平行四邊形就可以得出AD=PC=AB而得出結(jié)論AN-AM=
1
2
BC;
(3)由AD∥BC,可以得出△EAM∽△PBM,由AE:DE=1:2,設(shè)比的一份為k,則AE=k,DE=2k,AB=CD=AD=BP=CP=3k.得出AM,BM,由△MBP∽△PFC可以得出CF,DF.過點F作FG⊥AN于點G,由勾股定理就可以求出k的值,過點B作BH⊥AN于點H,由勾股定理就可以求出結(jié)論.
解答:解:(1)如圖一,連接AP,

∵P是BC的中點,
∴BP=
1
2
BC,
∵BC=2AB,
∴AB=BP,
∵∠B=60°,
∴△ABP是等邊三角形,
∴BP=AP,∠MPN=∠BPA=60°.
在△MBP和△NAP中:
∠B=∠PAN
BP=AP
∠MPB=∠NPA
,
∴△MBP≌△NAP(ASA),
∴BM=AN,
∴AM+AN=AM+BM=AB=
1
2
BC;

(2)AN-AM=
1
2
BC.
理由:如圖二,連結(jié)AP,
∵P是BC的中點,
∴BP=PC=
1
2
BC.
∵BC=2AB,
∴AB=
1
2
BC=BP=PC.
∵∠B=60°,
∴△ABP是等邊三角形,
∴BP=AP,∠MPN=∠BPA=∠BAP=60°.
∴∠BPA+∠APE=∠MPN+∠APE,
∵AD∥BC,
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠B=60°,
∴∠BAD=120°.
∴∠PAN=60°.
∴∠B=∠PAN.
在△BPM和△APN中,
∠B=∠PAN
BP=AP
∠BPM=∠APN

∴△BPM≌△APN(ASA),
∴BM=AN.∠M=∠N.
∵四邊形ABCD是等腰梯形,
∴∠B=∠C,AB=CD.
∴AP=CD,
∵∠B=60°,
∴∠C=60°,
∴∠BPA=∠C,
∴AP∥CD,
∴四邊形APCD是平行四邊形,
∴AD=PC.
∴AB=AD,
∴BM-AB=AN-AD,
∴AM=DN.
∵AB=
1
2
BC,
∴BM-AM=
1
2
BC,
∴AN-DN=
1
2
BC,
∴AN-AM=
1
2
BC;

(3)∵AE:DE=1:2,
∴設(shè)比的一份為k,則AE=k,DE=2k,
則AB=CD=AD=BP=CP=3k.
∵AD∥BC,
∴△EAM∽△PBM,
AM
BM
=
AE
BP
,
AM
3k+AM
=
k
3k
,
∴AM=
3
2
k,
∴BM=
9
2
k.
∵AD∥BC,
∴∠N=∠CPF,∠NDC=∠C=60°.
∴∠M=∠CPF.
∵∠B=∠C,∠M=∠CPF,
△MBP∽△PFC,
BM
CP
=
BP
CF
,
∴CF=2k,
∴DF=k.
如圖二,過點F作FG⊥AN于點G.
∵∠GDF=60°,
∴DG=
1
2
k,GF=
3
2
k,
∴EG=
5
2
k
∴FE=
7
k.
∵EF=2
7

∴k=2
∴AB=AD=6,DN=3
如圖二,過點B作BH⊥AN于點H,
∴∠H=90°.
∵∠HAB=60°,
∴∠ABH=30°,
∴AH=
1
2
AB=3,BH=3
3

在Rt△BHN中,由勾股定理,得:
∴BN=3
19
點評:本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用,勾股定理的運用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,解答時證明三角形全等是關(guān)鍵,尋找相似三角形是難點.
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1
2
-1-
3
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