Question

如圖，點A在⊙O外，射線AO與⊙O交于F、G兩點，點H在⊙O上，F(xiàn)H弧和GH弧為等弧，點D是FH弧上的一個動點（不運動至F），BD是⊙O的直徑，連接AB，交⊙O于點C，連接CD，交AO于點E，且OA=

5

，OF=1，設(shè)AC=x，AB=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若DE=2CE，求證：AD是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）由OF=OG=1得AG=

5

+1，AF=

5

-1，根據(jù)切割線定理得AG•AF=AB•AC，即（

5

+1）（

5

-1）=y•x，所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

4

x

；當(dāng)D與H重合時，由于FH弧和GH弧為等弧，根據(jù)垂徑定理得BD⊥AG，AB最小，即y最小，在Rt△OBA中，根據(jù)勾股定理計算出AB=

6

，而y=

6

時，x=

2 6

3

，于是得到x的取值范圍為

5

-1＜x≤

2 6

3

；
（2）延長DC至點M，使得EC=CM，連接BM，則DE=2CE=CE+CM=EM，可得OE為△DBM的中位線，所以O(shè)E∥BM，則∠OAB=∠ABM，可證明△ACE≌△BCM，得到AC=BC，由∠BCD=90°，根據(jù)等腰三角形的判定得AD=BD=2，在△AOD中，根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△AOD是直角三角形，即∠ADO=90°，則根據(jù)切線的判定定理得到AD是圓O的切線．

解答：（1）解：∵OF=OG=1，
∴AG=OA+OG=

5

+1，AF=OA-OF=

5

-1，
∵AG•AF=AB•AC，
∴（

5

+1）（

5

-1）=y•x，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

4

x

；
當(dāng)D與H重合時，
∵FH弧和GH弧為等弧，
∴此時BD⊥AG，AB最小，即y最小，
在Rt△OBA中，OB=1，OA=

5

，
∴AB=

( 5 )2+12

=

6

當(dāng)y=

6

時，x=

4

6

=

2 6

3

，
∴x的取值范圍為

5

-1＜x≤

2 6

3

；
（2）證明：延長DC至點M，使得EC=CM，連接BM，
∴DE=2CE=CE+CM=EM，
∵OD=OB，
∴OE為△DBM的中位線，
∴OE∥BM，
∴∠OAB=∠ABM，
在△ACE和△BCM中

∠ACE=∠BCM ∠CAE=∠CBM CE=CM

，
∴△ACE≌△BCM（AAS），
∴AC=BC，
∵∠BCD=90°，即CD⊥AB，
∴AD=BD=2，
在△AOD中，AD=2，OD=1，OA=

5

，
∴OA²=OD²+AD²，
∴△AOD是直角三角形．
∴∠ADO=90°．
∴OD⊥AD，
∴AD是圓O的切線．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理．