能否把正整數(shù)1至10擺放到一個圓周上，使得其中任何兩個相間一個數(shù)的數(shù)的和（ai+ai+2）都是3的倍數(shù)？
【答案】
分析：假設(shè)把正整數(shù)1至10擺放到一個圓周上，能夠使得其中任何兩個相間一個數(shù)的數(shù)的和（a
i+a
i+2）都是3的倍數(shù)，那么這十個數(shù)之和的2倍就該是3的倍數(shù)，從而得出矛盾，進(jìn)而得出結(jié)論．
解答：解：不能把正整數(shù)1到10擺放到一個圓周上，使得其中任何兩個相間一個數(shù)的數(shù)和都是3的倍數(shù)．理由如下：
用a
i（i=1，2，3，…，10）表示正整數(shù)1至10，將正整數(shù)1至10任意擺放到一個圓周上，如圖，假設(shè)此時其中任何兩個相間一個數(shù)的數(shù)的和（a
i+a
i+2）都是3的倍數(shù)，
那么a
1+a
3，a
2+a
4，a
3+a
5，a
4+a
6，a
5+a
7，a
6+a
8，a
7+a
9，a
8+a
10，a
9+a
1，a
10+a
2，都是3的倍數(shù)，
所以（a
1+a
3）+（a
2+a
4）+（a
3+a
5）+（a
4+a
6）+（a
5+a
7）+（a
6+a
8）+（a
7+a
9）+（a
8+a
10）+（a
9+a
1）+（a
10+a
2）=2（a
1+a
2+a
3+a
4+a
5+a
6+a
7+a
8+a
9+a
10）是3的倍數(shù)，
而2（a
1+a
2+a
3+a
4+a
5+a
6+a
7+a
8+a
9+a
10）=2×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=110，不是3的倍數(shù)，
所以假設(shè)不成立．
故不能把正整數(shù)1至10擺放到一個圓周上，使得其中任何兩個相間一個數(shù)的數(shù)的和（a
i+a
i+2）都是3的倍數(shù)．
點評：本題考查了數(shù)的整除性，屬于競賽題型，有一定難度，根據(jù)整除的性質(zhì)及已知條件得出這十個數(shù)之和的2倍就該是3的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．
