Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所對的邊分別記作a、b、c．

（1）如圖1，分別以△ABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，則有____________；

（2）如圖2，分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，請問S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2、S3，根據(jù)（2）中的探索，直接回答S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系；

（4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出圖4中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)S1+S2=S3；（2）；（3）；(4)24cm.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)勾股定理即可得到a，b，c滿足的關(guān)系．
（2）根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；
（3）分別表示出S1、S2、S3，結(jié)合勾股定理即可得出關(guān)系式．
（4）根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理就可發(fā)現(xiàn)：兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積，從而得出陰影部分的面積=直角三角形的面積．

試題解析：（1）根據(jù)勾股定理可得S1+S2=S3．

（2）由題意得，S1=b2，S2=a2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
（3）S1=×b2，S2=×a2，S3=×c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
（4）因為a2+b2=c2，兩邊同乘以，即得兩小半圓的面積和等于大半圓的面積，
從而可得S陰影部分的面積=S直角三角形的面積=×8×6=24．故陰影部分的面積是24．