Question

如圖，△ACB、△CDE為等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F(xiàn)為BE的中點，求證：AF⊥DF，AF=DF．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=BF=

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AE，DF=BF=

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AE，再根據(jù)等邊對等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解答：證明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F(xiàn)為BE的中點，
∴AF=BF=

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AE，DF=BF=

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AE，
∴AF=DF，
∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥DF，
綜上所述，AF⊥DF，AF=DF．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．