Question

（2012•白云區(qū)一模）如圖，

AD

是以邊長為6的等邊△ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周，P為

AD

上一動點，當BP經(jīng)過弦AD的中點E時，四邊形ACBE的周長為

12+6

2

．（結果用根號表示）

Answer 1

分析：利用垂徑定理，圓心角、弦間的數(shù)量關系證得△AEB是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求得AE、BE的值；最后根據(jù)等邊三角形的性質、四邊形的周長計算公式來求四邊形ACBE的周長即可．

解答：解：如圖，AE=DE．
∵點B是圓心，
∴BE⊥AD；
又∵

AD

是以邊長為6的等邊△ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=45°，
∴在直角三角形ABE中，利用勾股定理知，AE=BE=3

2

；
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=6，
∴四邊形ACBE的周長為：AC+BC+AE+EB=12+6

2

；
故答案是：12+6

2

．

點評：本題綜合考查了垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的性質．求得AE=BE=3

2

是解題的難點，解此類題目要注意將圓的問題轉化成三角形的問題再進行計算．