Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．

（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；

（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

考點：

相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．

分析：

（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△APQ∽△ABC；

（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．

（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）關(guān)系計算AP的長；

（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP．

解答：

（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠APQ=∠C．

在△APQ與△ABC中，

∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

∴△APQ∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠BPQ為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ．

（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．

由（1）可知，△APQ∽△ABC，

∴，即，解得：PB=，

∴AP=AB﹣PB=3﹣=；

（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點B為線段AB中點，

∴AP=2AB=2×3=6．

綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為或6．

點評：

本題考查相似三角形及分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度不大．第（2）問中，當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．