Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0．
（1）當方程有兩個相等的實數(shù)根時，求k的值；
（2）若k是整數(shù)，且關(guān)于x的一元二次方程（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0有兩個不相等的整數(shù)根時，把拋物線y=（k²-1）x²-（3k-1）x+2向右平移

1

2

個單位長度，求平移后拋物線的頂點坐標．

Answer 1

考點：根的判別式,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k²-1≠0且△=（3k-1）²-4×2×（k²-1）=0，然后解不等式和方程得到k的值為3；
（2）利用公式法解方程得到x₁=

2

k+1

，x₂=

1

k-1

，由于方程有兩個不相等的整數(shù)根，且k≠±1，則整數(shù)k=0，于是拋物線解析式表示為y=-x²+x+2，配方得到y(tǒng)=-（x-

1

2

）²+

9

4

，即拋物線的頂點坐標為（

1

2

，

9

4

），然后根據(jù)點的坐標變換求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意得k²-1≠0且△=（3k-1）²-4×2×（k²-1）=0，
解得k=3，
所以k=3時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；
（2）∵△=（3k-1）²-4×2×（k²-1）=（k-3）²，
∴x=

3k-1±(k-3)

2(k2-1)

，
∴x₁=

2

k+1

，x₂=

1

k-1

，
∵方程有兩個不相等的整數(shù)根，且k≠±1，
∴整數(shù)k=0，
當k=0時，拋物線為y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，
∴拋物線的頂點坐標為（

1

2

，

9

4

），
∴把拋物線y=-x²+x+2向右平移

1

2

個單位長度后，得到的拋物線的頂點坐標為（1，

9

4

）．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．