Question

如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；

（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；

（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），

∴，解得：。

∴拋物線解析式為。

又∵，

∴對(duì)稱軸方程為：x=3。

（2）在中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；

令y=0，即，整理得x²﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2。

∴A（﹣2，0），B（8，0）。

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：

，解得。

∴直線BC的解析式為：。

（3）可判定△AOC∽△COB成立。理由如下：

在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴。

又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB。

（4）存在。

∵拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3，∴可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：

。

①當(dāng)AQ=CQ時(shí)，有，即25+t²=t²﹣8t+16+9，解得t=0。

∴Q₁（3，0）。

②當(dāng)AC=AQ時(shí)，有，即t²=﹣5，此方程無實(shí)數(shù)根，

∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形。

③當(dāng)AC=CQ時(shí)，有，整理得：t²﹣8t+5=0，解得：。

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q₂（3，），Q₃（3，）。

綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（3，0），Q₂（3，），Q₃（3，）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式求出對(duì)稱軸方程。

（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式。

（3）根據(jù)，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB。

（4）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解。