Question

類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．
（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．
（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時：
①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請你證明此結(jié)論；
②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．
（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對角線AC的長．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題,新定義

分析：（1）利用“等對角四邊形”這個概念來計算．
（2）①利用等邊對等角和等角對等邊來證明；
②舉例畫圖；
（3）（Ⅰ）當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，利用勾股定理求解；
（Ⅱ）當∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，求出線段利用勾股定理求解．

解答：解：（1）如圖1
∵等對角四邊形ABCD，∠A≠∠C，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-70°-80°-80°=130°；


（2）①如圖2，連接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
②不正確，
反例：如圖3，∠A=∠C=90°，AB=AD，
但CB≠CD，


（3）（Ⅰ）如圖4，當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，
∴DE=AE-AD=10-4=6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2

3

，
∴AC=

AD2+CD2

=

42+(2 3 )2

=2

7

（Ⅱ）如圖5，當∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，

∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，
∴AE=2，DE=2

3

，
∴BE=AB-AE=5-2=3，
∵四邊形BFDE是矩形，
∴DF=BE=3，BF=DE=2

3

，
∵∠BCD=60°，
∴CF=

3

，
∴BC=CF+BF=

3

+2

3

=3

3

，
∴AC=

AB2+BC2

=

52+(3 3 )2

=2

13

．

點評：本題主要考查了四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是理解并能運用“等對角四邊形”這個概念．