Question

【題目】已知拋物線

（1）證明：不論m為何值，拋物線圖象的頂點均在某一直線的圖象上，求此直線的函數(shù)解析式；

（2）當時，點P為拋物線上一點，且，求點P的坐標；

（3）將（2）中的拋物線沿x軸翻折再向上平移1個單位向右平移個單位得拋物線，設拋物線的頂點為，拋物線與軸相交于點（A在B的左邊），且∥，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）

【解析】試題分析：（1）利用配方法可確定拋物線的頂點M坐標為（m-1，-m-2），然后令x=m-1，y=-m-2，然后消去m得到x和y的關(guān)系式即可；

（2）先確定拋物線解析式為y=x2-2x-3，點M的坐標為（1，-4），利用旋轉(zhuǎn)的定義，將線段OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段OC，與拋物線相交于點P，如圖1，從而得到點C坐標，再求出直線OP的解析式為y=x，然后解方程組得P點坐標；

（3）利用拋物線的幾何變換得到N（n+1，5），拋物線C2的解析式為y=-（x-n-1）2+5，過點M作ME⊥x軸于點E，過點N作NF⊥x軸于點F，如圖2，根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出A點和B點坐標，然后證明Rt△AME∽Rt△BNF，再利用相似比得到關(guān)于n的方程，解方程可得到n的值．

試題解析：（1）證明：y=x2-2（m-1）x+m2-3m-1=[x-（m-1）]2-m-2，則拋物線的頂點M坐標為（m-1，-m-2），

令x=m-1，y=-m-2，

則x+y=-3，

所以直線l的函數(shù)解析式為y=-x-3；

（2）當m=2時，拋物線解析式為y=x2-2x-3，點M的坐標為（1，-4），

將線段OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段OC，與拋物線相交于點P，如圖1，

則點C坐標為（4，1），設直線OC的解析式為y=kx，

把C（4，1）代入得4k=1，解得k=，

所以直線OP的解析式為y=x，

解方程組得或，

所以點P的坐標為（， ）或（， ）；

（3）由題意可知，拋物線C2的頂點N（n+1，5），則拋物線C2的解析式為y=-（x-n-1）2+5，

過點M作ME⊥x軸于點E，過點N作NF⊥x軸于點F，如圖2，

當y=0時，-（x-n-1）2+5=0，解得x1=n+1-，x2=n+1+，

∴A（n+1-，0），B（n+1+，0），

∵AM∥BN，

∴∠MAE=∠NBF，

∴Rt△AME∽Rt△BNF，

∴，即，

∴n=．