Question

如圖，矩形ABCD，過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)O作OE⊥BC于E，連接DE交OC于O₁，過(guò)O₁作O₁E₁⊥BC于E₁，連接DE₁交OC于O₂，過(guò)O₂作O₂E₂⊥BC于E₂，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)O₃，O₄，…，O_n，分別記△DOE，△DO₁E₁，△DO₂E₂，…，△DO_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n-1．則S_n=________S_矩形ABCD．

Answer 1

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)推出△ABD≌△CDB，得到△ABD和△CBD的面積相等，且等于矩形面積的一半，根據(jù)等底等高的數(shù)據(jù)線的面積相等，求出S₁，同理求出S₂、S₃，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，即可求出答案．
解答：∵矩形ABCD，
∴∠DCB=90°，AD=BC，AB=CD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CDB，
∴S_△ABD=S_△CBD=S_矩形ABCD，
∵矩形ABCD，
∴OB=OD，
∵OE⊥BC，∠DCB=90°，
∴OE∥CD，
∴BE=DE，
∴S_△DBE=S_△DEC=S_△DBC，
∴S₁=S_△DOE=S_△BOE=S_△DBE=S_△DBC=×S_{平行四邊形ABCD}，
∵BO=DO，BE=CE，OE∥CD，
∴===，
同理：S₂=××S_矩形ABCD=×S_矩形ABCD，
S₃=×S_矩形ABCD，
…
S_N=×S_矩形ABCD=S_矩形ABCD，
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的面積，平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出三角形的面積并根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．