Question

12．如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點A（-3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點P在拋物線上，且S_△AOP=4S_△BOC，求點P的坐標；
（3）若點Q在直線BC上，且$\frac{1}{2}$S_△ABC=S_△QAB，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求出點B的坐標，根據(jù)三角形面積公式求出S_△BOC，設點P的縱坐標為h，根據(jù)題意求出h，解方程即可；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設點Q的縱坐標為d，根據(jù)題意求出d，計算即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點A（-3，0），交y軸于點C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得，b=-2，c=3，
則拋物線的函數(shù)表達式為y=-x²-2x+3；
（2）令y=0，-x²-2x+3=0，
解得，x₁=-3，x₂=1，
∴點B的坐標為（1，0），
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$×OB×OC=$\frac{3}{2}$，
設點P的縱坐標為h，
則$\frac{1}{2}$×3×|h|=4×$\frac{3}{2}$，
解得，h=±4，
當h=4時，-x²-2x+3=4，x₁=x₂=-1，
∴點P的坐標為（-1，4），
當h=-4時，-x²-2x+3=-4，x₁=-1+2$\sqrt{2}$，x₂=-1-2$\sqrt{2}$，
∴點P的坐標為（-1+2$\sqrt{2}$，-4），（-1-2$\sqrt{2}$，-4），
∴點P的坐標為（-1，4），（-1+2$\sqrt{2}$，-4），（-1-2$\sqrt{2}$，-4）；
（3）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=6，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，k=-3，b=3，
∴設直線BC的解析式為y=-3x+3，
設點Q的縱坐標為d，
$\frac{1}{2}$×6=$\frac{1}{2}$×4×|d|，
解得，d=±$\frac{3}{2}$，
當d=$\frac{3}{2}$時，-3x+3=$\frac{3}{2}$，
解得，x=$\frac{1}{2}$，
∴點Q的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
當d=-$\frac{3}{2}$時，-3x+3=-$\frac{3}{2}$，
解得，x=$\frac{3}{2}$，
∴點Q的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴點Q的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）時，$\frac{1}{2}$S_△ABC=S_△QAB．

點評 本題考查的是拋物線與x軸的交點的求法以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正確運用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式、掌握坐標與圖形的關系是解題的關鍵．