Question

【題目】如圖，在中，為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與的頂點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的邊于點(diǎn)以和為邊作，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒)，的面積為(平方單位)．

（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；

（2）用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；

（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連結(jié)直接寫出將分成面積相等的兩部分時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】

（1）先利用勾股定理計(jì)算出AC長(zhǎng)，在算出動(dòng)點(diǎn)Q的路徑長(zhǎng)，再算出時(shí)間t；

（2）先分類討論，分別討論點(diǎn)Q在邊BC上和邊CD上，再利用相似三角形的性質(zhì)表示出的長(zhǎng)；

（3）由（2）得的長(zhǎng)，再分類討論得出所對(duì)的高的長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算即可；

（4）若將分成面積相等的兩部分，則有線段PQ的中點(diǎn)E在直線BD上，再將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線BD的解析式，解方程即可．

解：（1）

由勾股定理可得：

D為邊的中點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

（2）當(dāng)點(diǎn)在邊BC上時(shí)，

此時(shí)，，即

即

當(dāng)點(diǎn)在邊CD上時(shí)，

此時(shí)，，即

即

綜上所述：．

（3）當(dāng)點(diǎn)在邊BC上，即時(shí)，

由（2）知

當(dāng)點(diǎn)在邊CD上，即時(shí)，

由（2）知，

即

綜上所述：．

（4）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立如圖所致平面直角坐標(biāo)系，

當(dāng)點(diǎn)在邊BC上時(shí)，

由題設(shè)條件可知：，，，

易得：PQ中點(diǎn)E的坐標(biāo)為

直線BD的解析式為

若將分成面積相等的兩部分，

則此時(shí)點(diǎn)E在直線BD上，

將代入，得：

解得：

當(dāng)點(diǎn)在邊CD上時(shí)，

由題設(shè)條件可知：，，，

易得：PQ中點(diǎn)E的坐標(biāo)為

直線BD的解析式為

若將分成面積相等的兩部分，

則此時(shí)點(diǎn)E在直線BD上，

將代入，得：

解得：