Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一點(diǎn)，F是AD上的一點(diǎn)，連接BO和FO．

（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，求EO的長(zhǎng)度；

（2）求線段AO的取值范圍；

（3）當(dāng)EO⊥FO時(shí)，連接EF．求證：BE+DF＞EF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1＜AO＜4；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1） O是中點(diǎn),E是中點(diǎn)，所以OE＝BC＝;

（2） 在△ACD中利用三角形的第三邊長(zhǎng)小于兩邊之和，大于兩邊只差;

（3） 延長(zhǎng)FO交BC于G點(diǎn)，就可以將BE,FD,EF放在一個(gè)三角形中，利用三角形兩邊之和大于第三邊即可.

（1）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BC＝AD＝3，OA＝OC，

∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，

∴OE為△ABC的中位線，

∴OE＝BC＝；

（2）解：在△ABC中，∵AB﹣BC＜AC＜AB+BC，

而OA＝OC，

∴5﹣3＜2AO＜5+3，

∴1＜AO＜4；

（3）證明：延長(zhǎng)FO交BC于G點(diǎn)，連接EG，如圖，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OB＝OD，BC∥AD，

∴∠OBG＝∠ODF，

在△OBG和△ODF中

，

∴△OBG≌△ODF，

∴BG＝DF，OG＝OF，

∵EO⊥OF，

∴EG＝EF，

在△BEG中，BE+BG＞EG，

∴BE+FD＞EF．