Question

【題目】將兩張完全相同的矩形紙片ABCD、FBED按如圖方式放置，BD為重合的對角線．重疊部分為四邊形DHBG，
（1）試判斷四邊形DHBG為何種特殊的四邊形，并說明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四邊形DHBG的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形DHBG是菱形．理由如下：

∵四邊形ABCD、FBED是完全相同的矩形，

∴∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB．

在△DAB和△DEB中， ，

∴△DAB≌△DEB（SAS），

∴∠ABD=∠EBD．

∵AB∥CD，DF∥BE，

∴四邊形DHBG是平行四邊形，∠HDB=∠EBD，

∴∠HDB=∠HBD，

∴DH=BH，

∴DHBG是菱形

（2）解：由（1），設(shè)DH=BH=x，則AH=8﹣x，

在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2，即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，即BH=5，

∴菱形DHBG的面積為HBAD=5×4=20

【解析】（1）由四邊形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），進(jìn)而可得出∠ABD=∠EBD，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB∥CD、DF∥BE，即四邊形DHBG是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角對等邊可得出DH=BH，由此即可證出DHBG是菱形；（2）設(shè)DH=BH=x，則AH=8﹣x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根據(jù)菱形的面積公式即可求出菱形DHBG的面積．