Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經過第二象限內的點A（-2，2），若直線y=ax+b經過點A，并且經過反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上另一點B（m，-1），與x軸交于點m．
（1）求反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式和直線y=ax+b的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）x軸是否存在一點P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請求出點P坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將A坐標代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，把B坐標代入反比例解析式求出m的值，確定出B坐標，將A與B坐標代入直線解析式求出a與b的值，即可確定出直線解析式；
（2）由直線解析式求出M坐標，確定出OM長，連接OA，OB，三角形AOB面積=三角形AOM面積+三角形BOM面積，求出即可；
（3）設存在P（p，0），利用兩點間的距離公式變形出AP²，OP²，OA²，根據(jù)AP=OP，AP=OA，OP=OA三種情況分類討論，求出P坐標即可．

解答：解：（1）將A（-2，2）代入y=

k

x

得：k=-4，
∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=-

4

x

，
將y=-1代入反比例解析式得：x=4，即m=4，
∴B（4，-1），
將A（-2，2）與B（4，-1）代入y=ax+b得：

-2a+b=2 4a+b=-1

，
解得：a=-

1

2

，b=1，
∴直線解析式y(tǒng)=-

1

2

x+1；
（2）連接OA，OB，
對于直線y=-

1

2

x+1，令y=0，得到x=2，即M（2，0），OM=2，
則S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=

1

2

×2×2+

1

2

×2×1=2+1=3；
（3）假設存在點P（p，0）使得為等腰三角形，
AP²=（p+2）²+2²=p²+4p+8，AO²=8，PO²=p²，
若AP=AO，則有AP²=AO²，即p²+4p+8=8，
解得：p=-4或p=0（舍去），
此時P₁（-4，0）；
若AP=PO，則有AP²=PO²，p²+4p+8=p²，
解得：p=-2，
此時P₂（-2，0）；
若AO=PO，則有p²=8，
解得：p=±2

2

，
此時P₃（2

2

，0），P₄（-2

2

，0），
綜上，P點坐標是（-4，0）；（-2，0）；（2

2

，0）；（-2

2

，0）．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標與圖形性質，等腰三角形的性質，以及兩點間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．