Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形AOBC的位置如圖所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分別是線段AC、線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，使得△MON的面積最大時(shí)，周長(zhǎng)最短，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直角梯形,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：過點(diǎn)M作MP∥OA，交ON于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點(diǎn)Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=

1

2

MP•QG+

1

2

MP•NG=

1

2

MP•QN，因?yàn)镼N取得最大值是OB時(shí)，△MON的面積最大值=

1

2

OA•OB，設(shè)O關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，交AC于M，此時(shí)AM=3，從而求得M的坐標(biāo)（3，4）．

解答：解：如圖，過點(diǎn)M作MP∥OA，交ON于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點(diǎn)Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=

1

2

MP•QG+

1

2

MP•NG=

1

2

MP•QN，
∵M(jìn)P≤OA，QN≤OB，
∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，QN取得最大值OB時(shí)，△MON的面積最大值=

1

2

OA•OB，
設(shè)O關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，交AC于M，
此時(shí)△MON的面積最大，周長(zhǎng)最短，
∵

AD

OD

=

AM

OM

，即

4

8

=

AM

6

，
∴AM=3，
∴M（，3，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)，坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．