Question

4．已知：如圖1，點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且BF=CE．
（1）求證：AE=AF；
（2）如圖2，若∠BAC=60°，△ABD的面積為4，連接AD交EF于M，連接BM、CM，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有面積為1的三角形．

Answer 1

分析 （1）由△DBF≌△DCE得∠B=∠C，根據(jù)等角對(duì)等邊得AB=AC，由此即可證明．（2）首先證明EF∥BC，得S_△BDF=S_△BDM=S_△CDM=S_△CDE，設(shè)BD=a，根據(jù)S_△ABD=4得出a²=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，再求出S_△BDF=1，由此即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DFB=∠DEC=90°，
在RT△DBF和RT△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△DCE，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，∵BF=CE，
∴AF=AE．
（2）解：∵AF=AE，
∠AFE=∠AEF，
∵∠A+2∠AFE=180°，∠A+2∠B=180°，
∴∠AFE=∠B，
∴EF∥BC，
∵BD=DC，
∴S_△BDF=S_△BDM=S_△CDM=S_△CDE，
設(shè)BD=a，∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$a，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$a=4，
∴a²=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}$•BF•DF=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²=1，
∴S_△BDF=S_△BDM=S_△CDM=S_△CDE=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積公式、等積問(wèn)題、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的突破口是同底等高的三角形面積相等，學(xué)會(huì)用方程思想解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．