Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+ 分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+ 經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，作MD∥y軸交BC于點(diǎn)D，求△DMH周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣ x+ 分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，

∴B（3，0），C（0， ），

∴OB=3，OC= ，

∴tan∠BCO= = ，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴ =tan30°= ，即 = ，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）

解：∵拋物線y=ax2+bx+ 經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+ ；

（3）

解：∵M(jìn)D∥y軸，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，則∠DMH=30°，

∴DH= DM，MH= DM，

∴△DMH的周長(zhǎng)=DM+DH+MH=DM+ DM+ DM= DM，

∴當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長(zhǎng)有最大值，

∵點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，

∴可設(shè)M（t，﹣ t2+ t+ ），則D（t，﹣ t+ ），

∴DM=﹣ t2+ t+ ），則D（t，﹣ t+ ），

∴DM=﹣ t2+ t+ ﹣（﹣ t+ ）=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，DM有最大值，最大值為 ，

此時(shí) DM= × = ，

即△DMH周長(zhǎng)的最大值為 ．

【解析】（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，在Rt△BOC中由三角函數(shù)定義可求得∠OCB=60°，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函數(shù)的定義可求得OA，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（3）由平行線的性質(zhì)可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長(zhǎng)，從而可表示出△DMH的周長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的最值和平行線的性質(zhì)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可以解答此題．