Question

如圖，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以3cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以2cm/s的速度運動．點E在線段BC上，且BE=1cm，若M、N兩點同時從點D出發(fā)，到第一次相遇時停止運動．
（1）求經(jīng)過幾秒鐘M、N兩點停止運動？
（2）求點A、E、M、N構(gòu)成平行四邊形時，M、N兩點運動的時間；
（3）寫出△EMN的面積S（cm²）與運動時間為t（s）之間的函數(shù)表達式．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),函數(shù)關(guān)系式,平行四邊形的判定

專題：動點型

分析：（1）由題意可得：M、N兩點同時從點D出發(fā)，到第一次相遇時共運動了：2（5+10）=30（cm），則可得t=30÷（2+3）=6；
（2）由題意知，當點N在AD邊上運動，點M在BC邊上運動時，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，然后設(shè)經(jīng)過t秒，四點可組成平行四邊形，①當構(gòu)?成?AEMN時，10-2t=14-3t，②當構(gòu)成?AMEN時，10-2t=3t-14，繼而求得答案；
（3）分別從當 0＜t＜

5

3

時，當

5

3

≤t＜

14

3

時，當

14

3

＜t≤5時，當5＜t＜6時，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，
∴M、N兩點同時從點D出發(fā)，到第一次相遇時共運動了：2（5+10）=30（cm），
∴t=30÷（2+3）=6 （s）
答：經(jīng)過6 s兩點相遇．

（2）由題意知，當點N在AD邊上運動，點M在BC邊上運動時，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，
設(shè)經(jīng)過t秒，四點可組成平行四邊形，
①當構(gòu)成?AEMN時，10-2t=14-3t，
解得 t=4；
②當構(gòu)成?AMEN時，10-2t=3t-14，
解得t=4.8；
答：當點A、E、M、N構(gòu)成平行四邊形時，M、N兩點運動的時間為4s或4.8s．

（3）如圖（1），當 0＜t＜

5

3

時，S=S_梯形CDNE-S_△DMN-S_△CEM=

1

2

×（2t+9）×5-

1

2

×2t×3t-

1

2

×9×（5-3t）=-3t²+

37

2

t；
如圖（2），當

5

3

≤t＜

14

3

時，S=S_△EMN=

1

2

EM•CD=

1

2

×（3t-5-1）×5=35-

15

2

t；
如圖（3），當

14

3

＜t≤5時，S=S_△EMN=

1

2

×（3t-14）×5=

15

2

t-35；
如圖（4），當5＜t＜6時，S=S_△EMN=

1

2

MN•BE=

1

2

×（30-2t-3t）×1=15-

5

2

t．

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于動點題目，解題時注意分類討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．