Question

已知拋物線y=ax²+bx+1經過點A（1，3）和點B（2，1）．
（1）求此拋物線解析式；
（2）點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值；
（3）過點B作x軸的垂線，垂足為E點．點P從拋物線的頂點出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達F點，再沿FE到達E點，若P點在對稱軸上的運動速度是它在直線FE上運動速度的倍，試確定點F的位置，使得點P按照上述要求到達E點所用的時間最短．（要求：簡述確定F點位置的方法，但不要求證明）

Answer 1

解：（1）依題意：，
解得；
∴拋物線的解析式為y=-2x²+4x+1．

（2）點A（1，3）關于y軸的對稱點A'的坐標是（-1，3），
點B（2，1）關于x軸的對稱點B'的坐標是（2，-1）；
由對稱性可知AB+BC+CD+DA=AB+B'C+CD+DA'≥AB+A'B'，
由勾股定理可求AB=，A'B'=5．
所以，四邊形ABCD周長的最小值是．

（3）確定F點位置的方法：過點E作直線EG使對稱軸到直線EG成45°角，
則EG與對稱軸的交點為所求的F點；
設對稱軸于x軸交于點H；
在Rt△HEF中，由HE=1，∠FHE=90°，∠EFH=45°，
得HF=1．
所以，點F的坐標是（1，1）．
分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）取A關于y軸的對稱點A′，取B關于x軸的對稱點B′，根據軸對稱和兩點間線段最短可得：此時A′B′的長即為AD+CD+BC的最小值，易求得A′、B′的坐標，即可得到線段A′B′的長，那么AB+A′B′即為四邊形ABCD的最小周長．
（3）由于點P在對稱軸上的運動速度較快，因此盡量使用這個速度可以使點P到E點的時間最少；由于點P在對稱軸上的速度是P在直線FE上的倍，因此只有當△FHE（設對稱軸與x軸的交點為H）為等腰直角三角形時，從F→H→E和F→E所用時間相同，因此可過E作直線FE使得EF與對稱軸的夾角為45°，那么此時直線EF與對稱軸的交點就是所求的點F，易求得AH的長，而EH=FH=1，由此可求得F點的坐標．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定以及平面展開-最短路徑問題；（3）題中，能夠抓住點P在對稱軸和直線FE上的速度關系，是判斷F點位置的關鍵．