Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸分別交于、、三點(diǎn)，其中，點(diǎn)在軸正半軸上，連接、．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)移動；同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸向點(diǎn)移動，它們移動的速度都是每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止移動，連接，設(shè)移動時(shí)間為．

（1）若時(shí)，與相似，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若可以為直角三角形，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，可求得點(diǎn)坐標(biāo)為（，），當(dāng)時(shí)，可分別知道，，此時(shí)有兩種情況，當(dāng)時(shí)，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可以求得的長度，即可知點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，即可求得此時(shí)的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，根據(jù)比例關(guān)系求得，不符合題意，故舍去；

（2）若可以為直角三角形，可知，根據(jù)比例關(guān)系可求得的長，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)（，），可知，所以拋物線的對稱軸，把點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，）代入解析式，可知、之間的關(guān)系，消掉，即可求出的取值范圍．

解：（1）把代入，得，

∴（，），

∵（，），

∴，，

∴ ，

∵，

∴，，

當(dāng)時(shí)，，即，

∴，點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

把，；，分別代入，

解得：，，

∴．

當(dāng)時(shí)，，

即，∴（不符合題意，故舍去）．

綜上，二次函數(shù)的表達(dá)式為．

（2）若可以為直角三角形，顯然，

∴，則，設(shè)，

即，解得：．

設(shè)（，），則，

設(shè)拋物線對稱軸為直線，

∵（，），∴ ①，

把 ，代入，得 ②，

把②代入①，且，

解得：．

故的取值范圍是．