Question

如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，
（1）求AE的長．
（2）連接BE，BE是∠ABC的平分線嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由矩形ABCD中，EF⊥EC，且EF=EC，易證得△AEF≌△DCE，則可得AE=CD，然后設(shè)AE=CD=xcm，則AD=AE+DE=4+x（cm），由矩形ABCD的周長為32cm，可得2（x+4+x）=32，解此方程組即可求得答案；
（2）由AE=CD=AB，可得△ABE是等腰直角三角形，即可求得∠ABE=∠CBE=45°．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中，

∠A=∠D ∠AFE=∠DEC EF=CE

，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD，
設(shè)AE=CD=xcm，則AD=AE+DE=4+x（cm），
∵矩形ABCD的周長為32cm，
∴2（x+4+x）=32，
解得：x=6，
∴AE=6cm；

（2）BE是∠ABC的平分線．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠ABC=90°，
∵AE=CD，
∴AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠CBE，
即BE是∠ABC的平分線．

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．