Question

拋物線y=ax²+bx+c，a＞0，c＜0，2a+3b+6c=0．
（1）求證：；
（2）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，Q（1，n）．
①判斷mn的符號(hào)；
②若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A（x₁，0），點(diǎn)B（x₂，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），請(qǐng)說明，．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)?a+3b+6c=0，所以2a+3b=-6c，再把+通分，利用條件a＞0，c＜0，問題可得證；
（2）①把P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，可得到關(guān)于m，n的關(guān)系式，再有條件a＞0，c＜0，2a+3b+6c=0，可判斷mn的符號(hào)；
②因?yàn)閍＞0，知拋物線y=ax²+bx+c開口向上．又因?yàn)閽佄锞�與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A（x₁，0），點(diǎn)B（x₂，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），所以把拋物線y=ax²+bx+c的示意圖畫出，利用拋物線的對(duì)稱性可證得問題的正確性．
解答：（1）證明：∵2a+3b+6c=0，
∴．
∵a＞0，c＜0，
∴，．
∴．

（2）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)Q（1，n），
∴
①∵2a+3b+6c=0，a＞0，c＜0，
∴，．
∴＜0.＞0．
∴mn＜0．
②由a＞0知拋物線y=ax²+bx+c開口向上．
∵m＜0，n＞0，
∴點(diǎn)P和點(diǎn)Q（1，n）分別位于x軸下方和x軸上方．
∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，0），B（x₂，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），
∴由拋物線y=ax²+bx+c的示意圖可知，
對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x₂滿足．（如圖所示）
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
由拋物線的對(duì)稱性可，由（1）知，
∴．即x₁+x₂＜，
∴=，即．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考二次函數(shù)系數(shù)和與x軸的交點(diǎn)問題，把拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與二元一次方程有關(guān)的問題是解答此題的關(guān)鍵，重點(diǎn)是從圖象中找出重要信息．