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【題目】如圖,AD是圓O的切線,切點為A,AB是圓O的弦。過點B作BC//AD,交圓O于點C,連接AC,過點C作CD//AB,交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M,交過點C的直線于點P,且BCP=ACD。

(1) 判斷直線PC與圓O的位置關系,并說明理由:

(2) 若AB=9,BC=6,求PC的長。

【答案】(1)相切;證明見解析;(2.

【解析】試題分析:(1)通過分析,直線與圓O已經有一個公共點,連接半徑0C,只要證明OC⊥PC即可;(2)根據AD是切線和AD∥BC證明AP⊥BC,利用垂徑定理計算出CMBM3,在Rt△AMB中,利用勾股定義計算出AM的長,在Rt△OMC中,利用勾股定理建立方程計算出圓O的半徑的長,最后證明△OMC△OCP,利用相似三角形的對應邊成比例計算出PC的長.

試題解析:(1) 直線PC與圓O相切.

連接CO并延長,交圓O于點N,連接BN.

∵AB//CD

∴BAC=ACD.

∵BAC=BNC,

∴BNC=ACD.

∵BCP=ACD

∴BNC=BCP.

∵CN是圓O的直徑,

∴CBN=90°.

∴BNC+BCN=90°

∴BCP+BCN=90°.

∴PCO=90°,即PC^OC.

C在圓O上,

直線PC與圓O相切.

(2) ∵AD是圓O的切線,

∴AD^OA,即OAD=90°.

∵BC//AD,

∴OMC=180°-OAD=90°,即OM^BC.

∴MC=MB.

∴AB=AC.

RtAMC中,AMC=90°AC=AB=9,MC=BC=3

由勾股定理,得AM===6.

設圓O的半徑為r.

RtOMC中,OMC=90°,OM=AM-AO=6-r,MC=3OC=r,

由勾股定理,得OM 2+MC 2=OC 2,

(6-r)2+32=r2.

解得r=.

△OMC△OCP中,

∵OMC=OCP,MOC=COP,

∴△OMC△OCP.

=,即 =.

PC=.

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9

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