Question

已知，如圖1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．
（1）如圖2，當四邊形EFGH為正方形時，求CF的長和△FCG的面積；
（2）如圖1，設AE=x，三角形FCG的面積=y，求與x之間的函數(shù)關系式與y的最大值；
（3）當△CGF是直角三角形時，求x和y值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）要求CF的長和△FCG的面積，需先證△AEH≌△DHG≌△MGF；
（2）先證△AEH∽△DHG，然后根據(jù)比例關系，求出y與x之間的函數(shù)關系式與y的最大值；
（3）由畫圖可知∠FGC和∠GCF都不能為直角，當∠GFC=90°時，E、F、C三點在一條直線上，所以△AEH∽△BCE，根據(jù)相似三角形的對應線段成比例可求出解．

解答：解：（1）（1）作FM⊥CD于M，

可證△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴AE=DH=GM=6-2=4，
DG=AH=MF=2，
∴MC=CD-DG-GM=8-2-4=2，
∴FC=

MF2+MC2

=2

2

，
∴△FCG的面積=

1

2

×6×2=6；
（2）∵△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

=

GH

AE

，即

DG

2

=

4

x

，
∴DG=

8

x

，
∴y=△FCG的面積=

1

2

×(8-

8

x

)×2=8-

8

x

，
∵

8- 8 x ＞0 x≤8

，
∴1＜x≤8，
∴當x=8時，y的最大值為7；
（3）當∠GFC=90°時，E、F、C三點在一條直線上，
∴△AEH∽△BCE
∴

AE

BC

=

AH

BE

，
即

x

6

=

2

8-x

，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y=

20

3

．
當∠GCF=90°時，此時F點正好落在邊BC上，
則△HAE∽△GDH，

HA

AE

=

GD

DH

，
解得：x=4+2

2

或4-2

2

，
對應的y=4+2

2

或4-2

2

．
當∠CGF=90°時，C，G，H共線，所以不可能．
故x=2，y=4；x=6，y=

20

3

；x=4+2

2

，y=4+2

2

；x=4-2

2

，y=4-2

2

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)定理等知識點．綜合性強，有一定難度．