Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，點(diǎn)E為腰AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積．

Answer 1

分析：過(guò)C作CD⊥CE與EF的延長(zhǎng)線交于D，構(gòu)成直角三角形可證出Rt△ABE∽R(shí)t△CED，然后證出其面積；或作FH⊥CE于H，設(shè)FH=h，Rt△EHF∽R(shí)t△BAE，然后求出其面積．

解答：解法1：如圖，過(guò)C作CD⊥CE與EF的延長(zhǎng)線交于D．（2分）
因?yàn)椤螦BE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽R(shí)t△CED，（4分）
所以

S△CDE

S△EAB

=(

CE

AB

)2=

1

4

， 

CE

CD

=

AB

AE

=2．（（6分））
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分線，點(diǎn)F到CE和CD的距離相等，
所以

S△CEF

S△CDF

=

CE

CD

=2．（8分）
所以S△CEF=

2

3

S△CDE=

2

3

×

1

4

S△ABE=

2

3

×

1

4

×

1

2

S△ABC=

1

24

．（10分）


解法2：如圖，作FH⊥CE于H，設(shè)FH=h．（2分）因?yàn)椤螦BE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽R(shí)t△BAE．（4分）
因?yàn)?span id="lltbxd5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

EH

FH

=

AB

AE

. 即EH=2h，所以HC=

1

2

-2h．
又因?yàn)镠C=FH，所以h=

1

2

-2h ， h=

1

6

，（8分）
所以S△CEF=

1

2

EC×FH=

1

2

×

1

2

×

1

6

=

1

24

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是作出輔助線，然后構(gòu)成直角三角形，用相似三角形的性質(zhì)求面積．