Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知△OAB是等腰三角形（OB為底邊），頂點A的坐標是（2，4），點B在x軸上，點Q的坐標是（-6，0），AD⊥x軸于點D，點C是AD的中點，點P是直線BC上的一動點．
（1）求點C的坐標．
（2）若直線QP與y軸交于點M，問：是否存在點P，使△QOM與△ABD相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）以點P為圓心、為半徑長作圓，得到動圓⊙P，過點Q作⊙P的兩條切線，切點分別是E、F．問：是否存在以Q、E、P、F為頂點的四邊形的最小面積S？若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知AD⊥x軸于點D，點C是AD的中點，所以C（2，2）；
（2）假設(shè)存在點P使△QOM與△ABD相似，則由已知條件和相似三角形的性質(zhì)得知或，繼而求得使條件成立的M點坐標可能是：（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12）；不同的坐標對應(yīng)直線PQ不同的解析式；然后解由直線QP與直線BC的解析式組成的方程組，求得點M的坐標；
（3）以P為圓心、2為半徑作圓，過Q作此圓的兩條切線，切點分別是E、F，連接PE、PF（圖2）；根據(jù)切線的性質(zhì)來證明△PEQ≌△PFQ，S_{四邊形QEPF}=2QE，當點P在直線BC上移動時，QE的大小由PQ的大小確定，PQ最小時，QE達到最小，從而使四邊形QEPF的面積最�。�顯然，在所有點Q到直線BC的距離中，當QP⊥BC時QP的長是最小的，所以此時四邊形QEPF的面積即為最小面積．
解答：解：（1）∵△AOB是等腰三角形，頂點A的坐標是（2，4），
又∵AD⊥x軸于點D，點C是AD的中點，
∴C（2，2）；（2分）

（2）∵△QOM與△ABD相似，而∠QOM=∠ADB=90°，
∴必有或，（圖1）（1分）
又∵AD=4，BD=2，OQ=6，
∴OM=3或者12，
∴使條件成立的M點坐標可能是：
（0，3）或者（0，-3），（0，12）或者（0，-12），（1分）
又∵Q（-6，0），
∴①當M（0，3）時，直線QP的解析式是：；
②當M（0，-3）時，直線QP的解析式是：；
③當M（0，12）時，直線QP的解析式是：y=2x+12；
④當M（0，-12）時，直線QP的解析式是：y=-2x-12；（2分）
∵B（4，0），C（2，2），
∴直線BC的解析式是：y=-x+4；（1分）
分別解由直線QP與直線BC的解析式組成的方程組：
①，②，③，④
得：①，②，③，④
使△QOM與△BCD相似的點P的坐標是，（14，-10），或者（-16，20）．（2分）

說明：以上解題過程中，每少一種情況扣（1分），格式不對或解題不完整酌情扣分．

（3）以P為圓心、為半徑作圓，過Q作此圓的兩條切線，切點分別是E、F，連接PE、PF（圖2）．
則PE=PF=，PQ=PQ，∠PEQ=∠PFQ=90°，
∴△PEQ≌△PFQ；（1分）
∴．（1分）
∵QE²=PQ²-PE²=PQ²-2，
當點P在直線BC上移動時，QE的大小由PQ的大小確定，PQ最小時，QE達到最小，從而使四邊形QEPF的面積最�。�顯然，在所有點Q到直線BC的距離中，當QP⊥BC時QP的長是最小的，
∴此時四邊形QEPF的面積即為最小面積．
（1分）
當QP⊥BC于P時，∠QPB=∠BDC=90°，∠PBQ=∠DBC，
故△PBQ∽△DBC，
∴，而CD=2，BD=2，
∴BC=，
∴∴PQ=，（1分）
∴，
∴四邊形QEPF的最小面積=．（1分）

說明：解法不同參考給分，格式不對或解題不完整酌情扣分．
點評：本題是綜合性比較強的一道題，它集相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及切線的性質(zhì)，是難度較大的題型．