Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx(a＞0)與雙曲線y＝相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，－2)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且tan∠AOx＝4．過點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C．

(1)求雙曲線和拋物線的解析式；

(2)計(jì)算△ABC的面積；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD的面積等于△ABC的面積．若存在，請你寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把點(diǎn)B(－2，－2)的坐標(biāo)，代入y＝， 　　得：－2＝，∴k＝4． 　　即雙曲線的解析式為：y＝　　2分 　　設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，n)．∵A點(diǎn)在雙曲線上，∴mn＝4　�、� 　　又∵tan∠AOx＝4，∴＝4，即m＝4n　�、� 　　又①，②，得：n2＝1，∴n＝±1． 　　∵A點(diǎn)在第一象限，∴n＝1，m＝4，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，4) 　　把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx，得：解得a＝1，b＝3； 　　∴拋物線的解析式為：y＝x2＋3x　　4分 　　(2)∵AC∥x軸，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y＝4， 　　代入y＝x2＋3x，得方程x2＋3x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝1(舍去)． 　　∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4，4)，且AC＝5　　6分 　　又△ABC的高為6，∴△ABC的面積＝×5×6＝15　　7分 　　(3)存在D點(diǎn)使△ABD的面積等于△ABC的面積． 　　過點(diǎn)C作CD∥AB交拋物線于另一點(diǎn)D． 　　因?yàn)橹本�AB相應(yīng)的一次函數(shù)是：y＝2x＋2，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4，4)，CD∥AB， 　　所以直線CD相應(yīng)的一次函數(shù)是：y＝2x＋12　　9分 　　解方程組　得所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3，18)　　10分