Question

【題目】如圖，直線y=2x+3與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D（a，1）是反比例函數(shù)y= （x＞0）圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PB+PD最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），

∴在直線y=2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=2+3=5，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），

又∵點(diǎn)B（1，5）在反比例函數(shù)y= 上，

∴k=1×5=5，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

（2）

解：將點(diǎn)D（a，1）代入y= ，得：a=5，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，1）

設(shè)點(diǎn)D（5，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′（5，﹣1），

過(guò)點(diǎn)B（1，5）、點(diǎn)D′（5，﹣1）的直線解析式為：y=kx+b，

可得： ，

解得： ，

∴直線BD′的解析式為：y=﹣ x+ ，

根據(jù)題意知，直線BD′與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，

當(dāng)y=0時(shí)，得：﹣ x+ =0，解得：x= ，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，0）

【解析】（1）先根據(jù)直線y=2x+3求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)解析式；
　　　�。�2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)D 的坐標(biāo)，若要在x軸上找一點(diǎn)P，使PB+PD最小，可作點(diǎn)D關(guān)于x的軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接BD′，直線BD′與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P．本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及依據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)求最短路線問(wèn)題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，需要了解已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能得出正確答案．