Question

已知△ABC中，∠A=20°，AB=AC=20cm，M、N分別為AB、AC上兩點(diǎn)，求BN+NM+MC的最小值．

Answer 1

解：作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′B′分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，則BN+NM+MC=B′N+MN+MC′為最小值，
∵C′D=CD，C′D⊥AB，
∴△ACC′是等腰三角形，
∴AC′=AC，∠C′AC=∠DAC=20°，
同理，△ABB′是等腰三角形，
∴AB=AB′，∠B′AC=∠BAC=20°，
∵AB=AC，
∴AC′=AB′，
∵∠C′AB′=∠C′AD+∠BAC+∠B′AC=20°+20°+20°=60°，
∴△AB′C′是等邊三角形，
∴B′C′=AB′=AB=20cm，即BN+NM+MC的最小值為20cm．
故答案為：20cm．
分析：作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′B′分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，則BN+NM+MC=B′N+MN+MC′為最小值，易證△AB′C′是等邊三角形，故B′C′=AB′=AB=20cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短路線問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱變換將求三條線段的和轉(zhuǎn)化為求一條線段的長(zhǎng)．