Question

【題目】已知結(jié)論：在直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，請利用這個結(jié)論進行下列探究活動.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=，D為AB中點，P為AC上一點，連接PD，把△APD沿PD翻折得到△EPD，連接CE.

（1）AB=_____,AC=______.

（2）若P為AC上一動點，且P點從A點出發(fā)，沿AC以每秒一單位長度的速度向C運動，設(shè)P點運動時間為t秒.

①當t=_____秒時，以A、P、E、D、為頂點可以構(gòu)成平行四邊形.

②在P點運動過程中，是否存在以B、C、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）4，6；（2）①；②存在，t=2或t=6.

【解析】

（1）根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得AB的長，利用勾股定理即可求出AC的長；（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD//PE，AD=PE，根據(jù)折疊性質(zhì)可得PE=AP，即可得AP=AD，由D為AB中點可得AD的長，即可得AP的長，進而可求出t的值；②分兩種情況討論：當BD為邊時，設(shè)DE與PC相交于O，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠B=60°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CE=BD，CE//BD，BC//DE，可得∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，即可證明∠ADP=∠A，可得AP=PD=PE，可得∠PED=∠PDE=30°，即可得∠PEC=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得PC=2PE，利用勾股定理列方程可求出PE的長，即可得AP的長；當BD為對角線時，可證明平行四邊形BCDE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DCE=30°，可證明DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，利用SAS可證明△ACD≌△ECD，可得AC=CE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可證明點P與點C重合，根據(jù)AC的長即可求出t值，綜上即可得答案.

（1）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=，

∴AB=2BC=4，

∴AC==6.

故答案為：4，6

（2）①如圖，∵D為AB中點，

∴AD=BD=AB，

∵BC=AB，

∴AD=BD=BC=，

∵ADEP是平行四邊形，

∴AD//PE，AD=PE，

∵△APD沿PD翻折得到△EPD，

∴AP=PE，

∴AP=AD=，

∵P點從A點出發(fā)，沿AC以每秒一單位長度的速度向C運動，

∴t=.

故答案為：

②存在，理由如下：

i如圖，當BD為邊時，設(shè)DE與PC相交于O，

∵∠A=30°，∠ACB=90°，

∴∠B=60°，

∵四邊形DBCE是平行四邊形，

∴CE=BD，CE//BD，DE//BC，

∴∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，

∵△APD沿PD翻折得到△EPD，

∴∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，

∴∠PAD=∠PDA=30°，

∴AP=PD=PE，

∴∠PED=∠PDE=30°，

∴∠PEC=∠PED+∠DEC=90°，

∵∠ECP=30°，

∴PC=2PE，

∴PC2=PE2+EC2，即4PE2=PE2+()2

解得：PE=2或PE=-2（舍去），

∵P點從A點出發(fā)，沿AC以每秒一單位長度的速度向C運動，

∴t=2.

ii當BD為對角線時，

∵BC=BD=AD，∠B=60°，

∴△BCD都是等邊三角形，

∴∠ACD=30°，

∵四邊形DBCE是平行四邊形，

∴平行四邊形BCDE為菱形，

∴DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，

又∵CD=CD，

∴△ACD≌△ECD，

∴AC=CE，

∴△ECD是△ACD沿CD翻折得到，

∵△APD沿PD翻折得到△EPD，

∴點P與點C重合，

∴AP=AC=6.

∵P點從A點出發(fā)，沿AC以每秒一單位長度的速度向C運動，

∴t=6.

故當t=2或t=6時，以B、C、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形.