Question

在△ABC中，AB=AC=5，tanB=

4

3

．若⊙O的半徑為

10

，且⊙O經(jīng)過點B、C，那么線段OA的長等于

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，由AB=AC，OB=OC，利用線段垂直平分線逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，在直角三角形OBD中，由OB與BD的長，利用勾股定理求出OD的長，由AD+DO即可求出AO的長；（ii）同理由AD-OD即可求出AO的長，綜上，得到所有滿足題意的AO的長

解答：解：解：分兩種情況考慮：

（i）如圖1所示，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D為BC的中點，
在Rt△ABD中，AB=5，tan∠ABC=

4

3

=

AD

BD

，
設(shè)AD=4x，BD=3x，由勾股定理得：（3x）²+（4x）²=5²，
x=1，
∴BD=3，AD=4，
在Rt△BDO中，OD=

( 10 )2-32

=1，BD=3，
則AO=AD+OD=4+1=5；
（ii）如圖2所示，AO=AD-OD=4-1=3；
綜合上述，OA的長為3或5．
故答案為：3或5．

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．