Question

【題目】如圖1，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)BC方向移動(dòng)，以AD為邊作等邊△ADE．

（1）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E能否移動(dòng)至直線(xiàn)AB上？若能，求出此時(shí)BD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖2，在點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)始移動(dòng)至點(diǎn)C的過(guò)程中，以等邊△ADE的邊AD、DE為邊作ADEF．

①ADEF的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)M、N、P分別為AE、AD、DE上動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出MN+MP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）不存在；（2）①存在，6；②3．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知： 由三角形外角的性質(zhì)可知從而可知： 所以點(diǎn)E不能移動(dòng)到直線(xiàn)AB上.
（2）因?yàn)椤?/span>ADE的面積所以當(dāng)AD最短時(shí)，△ADE的面積有最小，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知當(dāng)AD⊥BC時(shí),△ADE的面積最小.四邊形為平四邊形，AE為對(duì)角線(xiàn)，所以平行四邊形的面積是△ADE面積的2倍，所以△ADE的面積最小時(shí)，平行四邊形的面積最��；
（3）當(dāng)點(diǎn)N、M、P在一條直線(xiàn)上，且NP⊥AD時(shí)，MN+MP有最小值，最小值為AD與EF之間的距離．

試題解析：(1)不存在.

理由：如圖1所示：

∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，

∴

∵

∴

又∵

∴

∴點(diǎn)E不能移動(dòng)到直線(xiàn)AB上.

(2)①存在：在圖(2)中，當(dāng)AD⊥BC時(shí),△ADE的面積最小.

在Rt△ADB中,

∴△ADE的面積

∵四邊形ADEF為平四邊形，AE為對(duì)角線(xiàn)，

∴平行四邊形ADEF的面積是△ADE面積的2倍.

∴ADEF的面積的最小值

②如圖3所示：作點(diǎn)P關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，

當(dāng)點(diǎn)N、M、P在一條直線(xiàn)上，且NP⊥AD時(shí)，MN+MP有最小值，

過(guò)點(diǎn)A作AG∥NP1，

∵AN∥GP1,AG∥NP1，

∴四邊形ANP1G為平行四邊形.

∴

即MN+MP的最小值為3.