如圖,點A在拋物線y=x2上,過點A作與x軸平行的直線交拋物線于點B,延長AO,BO分別與拋物線y=-x2相交于點C,D,連接AD,BC,設(shè)點A的橫坐標為m,且m>0.
(1)當(dāng)m=1時,求點A,B,D的坐標;
(2)當(dāng)m為何值時,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直;
(3)猜想線段AB與CD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意得點A的坐標是將x=1代入即可,根據(jù)對稱性可得點B的坐標,即可得OB的解析式,與二次函數(shù)的解析式組成方程組即可求得點D的坐標;
(2)當(dāng)四邊形ABCD的兩對角線互相垂直時,由對稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°所以點A的縱、橫坐標相等,根據(jù)點A在二次函數(shù)y=x2上,即可求得m的值;
(3)根據(jù)題意求得點A,B的坐標,求得AC的長與BD的解析式,即可求得點D與C的坐標,求得CD的長,可得CD=2AB.
解答:解:(1)∵點A在拋物線y=x2上,且x=m=1,
∴A(1,),(1分)
∵點B與點A關(guān)于y軸對稱,
∴B(-1,).(2分)
設(shè)直線BD的解析式為y=kx,
∴k=-,
∴y=-x.(3分)
解方程組,
得D(2,-).(4分)

(2)當(dāng)四邊形ABCD的兩對角線互相垂直時,
由對稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°
所以點A的縱、橫坐標相等,(5分)
這時,
設(shè)A(a,a),代入y=x2,
得a=4,
∴A(4,4),
∴m=4.
即當(dāng)m=4時,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直.(7分)

(3)線段CD=2AB.(8分)
證明:∵點A在拋物線y=x2,且x=m,
∴A(m,m2),
得直線AO的解析式為y=x,
解方程組,
得點C(-2m,-)(9分)
由對稱性得點B(-m,m2),D(2m,-m2),(10分)
∴AB=2m,CD=4m,
∴CD=2AB.(11分)
點評:此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識,要注意對稱性質(zhì)的應(yīng)用,要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,點A在拋物線y=
1
4
x2上,過點A作與x軸平行的直線交拋物線于點B,延長AO,BO分別與精英家教網(wǎng)拋物線y=-
1
8
x2相交于點C,D,連接AD,BC,設(shè)點A的橫坐標為m,且m>0.
(1)當(dāng)m=1時,求點A,B,D的坐標;
(2)當(dāng)m為何值時,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直;
(3)猜想線段AB與CD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,點P在拋物線y=x2-4x+3上運動,若以P為圓心,2為半徑的⊙P在x軸上截得的弦長為2
3
,則點P的坐標為
(2-
2
,1)或(2+
2
,1)或(2,-1)
(2-
2
,1)或(2+
2
,1)或(2,-1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,點P在拋物線y=x2-3x+1上運動,若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切,則符合上述條件的所有的點P共有(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:第2章《二次函數(shù)》中考題集(43):2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用(解析版) 題型:解答題

如圖,點A在拋物線y=x2上,過點A作與x軸平行的直線交拋物線于點B,延長AO,BO分別與拋物線y=-x2相交于點C,D,連接AD,BC,設(shè)點A的橫坐標為m,且m>0.
(1)當(dāng)m=1時,求點A,B,D的坐標;
(2)當(dāng)m為何值時,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直;
(3)猜想線段AB與CD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2006年廣東省梅州市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2006•梅州)如圖,點A在拋物線y=x2上,過點A作與x軸平行的直線交拋物線于點B,延長AO,BO分別與拋物線y=-x2相交于點C,D,連接AD,BC,設(shè)點A的橫坐標為m,且m>0.
(1)當(dāng)m=1時,求點A,B,D的坐標;
(2)當(dāng)m為何值時,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直;
(3)猜想線段AB與CD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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同步練習(xí)冊答案
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