Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為P，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線上找一點(diǎn)D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點(diǎn)Q，求直線DC的解析式；
（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，代入求出a和b的值，二次函數(shù)解析式即可求出；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的長(zhǎng)度，得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線QC的解析式，將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）首先求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，S_{四邊形AEPC}=S_{四邊形OEPC}+S_△AOC，以及S_{四邊形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP=得出使得S_△MAP=2S_△ACP點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點(diǎn)，
∴

0=a+b+3 0=9a-3b+3

，
解得：

a=-1 b=-2

，
∴y=-x²-2x+3，

（2）∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，
∴∠DCO+∠OCA=90°，
∵OC⊥x軸，
∴∠COA=∠COQ，∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠DCO=∠OAC，
∴△QOC∽△COA，
∴

OQ

OC

=

OC

OA

，
即

OQ

3

=

3

1

，
∴OQ=9，
又∵點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，
∴Q（-9，0），
設(shè)直線QC的解析式為：y=mx+n，則

n=3 -9m+n=0

，
解之得：

m= 1 3 n=3

，
∴直線QC的解析式為：y=

1

3

x+3，
∵點(diǎn)D是拋物線與直線QC的交點(diǎn)，

y= 1 3 x+3 y=-x2-2x+3

，
解之得：

x=- 7 3 y= 20 9

或

x=0 y=3

（不合題意，應(yīng)舍去），
∴點(diǎn)D（-

7

3

，

20

9

）；

（3）如圖，點(diǎn)M為直線x=-1上一點(diǎn)，連接AM，PC，PA，
設(shè)點(diǎn)M（-1，y），直線x=-1與x軸交于點(diǎn)E，
∴E（-1，0），
∵A（1，0），
∴AE=2，
∵拋物線y=-x²-2x+3的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸為x=-1，
∴P（-1，4），
∴PE=4，
則PM=|4-y|，
∵S_{四邊形AEPC}=S_{四邊形OEPC}+S_△AOC，
=

1

2

×1×（3+4）+

1

2

×1×3，
=

1

2

×10，
=5，
又∵S_{四邊形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP，
S_△AEP=

1

2

AP•PE=

1

2

×2×4，
∴S_△ACP=5-4=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴

1

2

×2×|y-4|=2×1，
∴|4-y|=2，
∴y₁=2，y₂=6，
故拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M使S_△MAP=2S_△ACP，
點(diǎn)M（-1，2）或（-1，6）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．