Question

在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB的中點，F(xiàn)在AD上，以C為圓心，CD為半徑作⊙C，若EF=5，判斷直線EF與⊙C的位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：過點C作CH⊥EF，垂足為H，設EH=x，根據(jù)勾股定理可得出EH，CH=CB，根據(jù)切線的判定定理即可得出結論．

解答：證明：直線EF與⊙C相切，
理由是：過點C作CH⊥EF，垂足為H，設EH=x，
∵EF=5，
∴FH=5-x，
∵AB=BC=6，E是AB的中點，
∴AE=BE=3，
∴AF=4，
∴DF=2，
∴CE=

BE2+BC2

=

9+36

=3

5

，
CF=

DF2+CD2

=

4+36

=2

10

，
∴在Rt△CEH中，CH²=EH²+EC²，
在Rt△CFH中，CH²=FH²+FC²，
∴EH²+EC²=FH²+FC²，
∴x²+45=（5-x）²+40，
解得x=3，
∴CH=6，
∴CH=CB，
∴直線EF與⊙C相切．

點評：本題考查了切線的判定，是圓的綜合題．涉及全等三角形的判定與性質，切線的性質及勾股定理，解題的關鍵是正確作出輔助線，找出線段的關系運用勾股定理求解．