Question

17．如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，弦CD∥AB，E，F(xiàn)為圓上的兩點(diǎn)，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的直徑為5，CD=4，則弦EF的長為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先連接OA，并反向延長交CD于點(diǎn)H，連接OC，由直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，弦CD∥AB，可求得OH的長，然后由勾股定理求得AC的長，又由∠CDE=∠ADF，可證得EF=AC，繼而求得答案．

解答 解：連接OA，并反向延長交CD于點(diǎn)H，連接OC，
∵直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴OA⊥AB，
∵弦CD∥AB，
∴AH⊥CD，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵⊙O的半徑為$\frac{5}{2}$，
∴OA=OC=$\frac{5}{2}$，
∴OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AH=OA+OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=4，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵∠CDE=∠ADF，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{AC}$，
∴EF=AC=2$\sqrt{5}$．
故答案為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．