(2013•德州)如圖,在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=1,tan∠BAO=3,將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為t,
①設(shè)拋物線對(duì)稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E,連接PE,交CD于F,求出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo);
②是否存在一點(diǎn)P,使△PCD得面積最大?若存在,求出△PCD的面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)先求出A、B、C的坐標(biāo),再運(yùn)用待定系數(shù)法就可以直接求出二次函數(shù)的解析式;
(2)①由(1)的解析式可以求出拋物線的對(duì)稱軸,分類討論當(dāng)∠CEF=90°時(shí),當(dāng)∠CFE=90°時(shí),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式,設(shè)PM與CD的交點(diǎn)為N,根據(jù)CD的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo),再根據(jù)S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面積,運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論.
解答:解:(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO=
OB
OA
=3,
∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1,
∴A、B、C的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,3)(-3,0).
代入解析式為
a+b+c=0
9a-3b+c=0
c=3

解得:
a=-1
b=-2
c=3

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;

(2)①∵拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,
∴對(duì)稱軸l=-
b
2a
=-1,
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0).
如圖,當(dāng)∠CEF=90°時(shí),△CEF∽△COD.此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上,即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn),P(-1,4);
當(dāng)∠CFE=90°時(shí),△CFE∽△COD,過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,則△EFC∽△EMP.
EM
MP
=
EF
FC
=
DO
OC
=
1
3

∴MP=3EM.
∵P的橫坐標(biāo)為t,
∴P(t,-t2-2t+3).
∵P在二象限,
∴PM=-t2-2t+3,EM=-1-t,
∴-t2-2t+3=3(-1-t),
解得:t1=-2,t2=3(點(diǎn)P在第二象限,所以舍去),
∴t=-2時(shí),y=-(-2)2-2×(-2)+3=3.
∴P(-2,3).
∴當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(-1,4)或(-2,3);
②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,由題意,得
-3k+b=0
b=1

解得:
k=
1
3
b=1
,
∴直線CD的解析式為:y=
1
3
x+1.
設(shè)PM與CD的交點(diǎn)為N,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t,
1
3
t+1),
∴NM=
1
3
t+1.
∴PN=PM-NM=-t2-2t+3-(
1
3
t+1)=-t2-
7
3
t
+2.
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN
∴S△PCD=
1
2
PN•CM+
1
2
PN•OM
=
1
2
PN(CM+OM)
=
1
2
PN•OC
=
1
2
×3(-t2-
7
3
t
+2)
=-
3
2
(t+
7
6
2+
121
24
,
∴當(dāng)t=-
7
6
時(shí),S△PCD的最大值為
121
24
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用,三角形的面積公式的運(yùn)用,二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用,解答本題時(shí),先求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵,用函數(shù)關(guān)系式表示出△PCD的面積由頂點(diǎn)式求最大值是難點(diǎn).
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①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+
3

其中正確的序號(hào)是
①②④
①②④
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