Question

7．如圖，在正方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，AH⊥BE于點(diǎn)H，連接CH并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，CP⊥CF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若EF=1，則DP的長(zhǎng)為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x，根據(jù)勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，由△AHE∽△BAE，得到$\frac{EH}{AE}=\frac{AE}{BE}$，求得EH=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，通過△EFH∽△BCH，得到$\frac{EF}{BC}=\frac{EH}{BH}$，即$\frac{1}{2x}=\frac{\frac{x}{\sqrt{5}}}{\frac{4\sqrt{5}x}{5}}$，得到BC=4，DF=3，通過△DCF∽△DPC，得到$\frac{CD}{DF}=\frac{DP}{DC}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x，
∵E為AD中點(diǎn)，
BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∵AB⊥AD，AH⊥BE，
∴∠EAH=∠ABE=90°-∠BAH，∠BAE=∠AHE，
∴△AHE∽△BAE，
∴$\frac{EH}{AE}=\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{EH}{x}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴EH=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，
∴BH=BE-EH=$\frac{4\sqrt{5}x}{5}$，
∵AD∥BC，
∴△EFH∽△BCH，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{EH}{BH}$，即$\frac{1}{2x}=\frac{\frac{x}{\sqrt{5}}}{\frac{4\sqrt{5}x}{5}}$，
∴x=2，
∴BC=4，DF=3，
∵CP⊥CF，
∴∠DCF=∠P=90°-∠DCP．
∵∠CDF=∠CDP=90°
∴△DCF∽△DPC，
∴$\frac{CD}{DF}=\frac{DP}{DC}$，
∴PD=$\frac{D{C}^{2}}{DF}$=$\frac{{4}^{2}}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．