Question

已知：如圖，在菱形ABC中，點E、F分別在邊BC、CD上，BE=DF，AE與BD交于點M，AF與BD交于點N．
（1）求證：∠BAF=∠DAE；
（2）若AD=5，DF=3，求：的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF，
而BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠BAF=∠DAE；

（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
∴△BEM∽△DAM，
∴=，即=，
∴=．
分析：（1）根據菱形的性質得AB=AD，∠ABE=∠ADF，則可根據“SAS”判斷△ABE≌△ADF，于是有∠BAE=∠DAF，然后利用等量變換后易得到結論
（2）根據菱形的性質得到AD∥BC，再根據三角形相似的判定方法得到△BEM∽△DAM，利用相似比得到=，然后根據比例性質可計算出=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．也考查了菱形的性質以及三角形全等的判定與性質．