Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AH⊥BC于H，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA邊以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交AH所在直線于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AH上時(shí)，是否存在四邊形AEDQ為直角梯形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，則t=

 

秒（直接寫出答案）．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先假設(shè)四邊形AEDQ為直角梯形，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行求時(shí)間t的值，連結(jié)AP根據(jù)三角形的面積求時(shí)間t；
（2）作HF⊥AC于點(diǎn)F，連結(jié)EP、EQ、HQ，然后結(jié)合勾股定理進(jìn)行求出時(shí)間t．

解答：解：（1）如圖所示，連結(jié)AP，
設(shè)四邊形AEDQ為直角梯形，由DE垂直平分PQ得PQ⊥AC，
∵BP=3t，CQ=2t，BC=12，
∴PC=BC-BP=12-3t，
∵AH⊥BC，AB=AC=10，
∴HC=

1

2

BC=

1

2

×12=6，
∴AH=

AC2-HC2

=

102-62

=8，
∴S△ABP=

1

2

×BP×AH=

1

2

×3t×8=12t，
S△ABC=

1

2

×BC×AH=

1

2

×12×8=48，
∴S_△APC=S_△ABC-S_△ABP=48-12t，
∵S△APC=

1

2

×AC×PQ，
∴48-12t=

1

2

×10×PQ，
∴PQ=

48-12t

5

，
由PQ²+CQ²=PC²得
(

48-12t

5

)2+(2t)2=(12-3t)2，
整理得47t²-216t+432=0，
∵（-216）²-4×47×432＜0，
∴方程無實(shí)數(shù)解，
所以在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AH上時(shí)，不存在四邊形AEDQ為直角梯形；

（2）如圖2所示，作HF⊥AC于點(diǎn)F，連結(jié)EP、EQ、HQ，
∵AB=AC=10，BC=12，AH⊥BC，
∴BH=HC=6，
∴AH=

AC2-HC2

=

102-62

=8，
由

AH•HC

2

=

AC•HF

2

得
HF=

AH•HC

AC

=

8×6

10

=

24

5

，
∵DE垂直平分PQ，
∴EP=EQ，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，
∴HP=HQ，
∵HP=

.

BP-BH

.

=

.

3t-6

.

，
∴HQ=

.

3t-6

.

，
∵HF⊥AC，
∴HQ²-FQ²=HF²，
∵CF=HC•cosC=HC•

HC

AC

=

6×6

10

=

18

5

，
∴FQ=

.

CQ-CF

.

=

.

2t- 18 5

.

，
∴

.

3t-6

.

2-

.

2t- 18 5

.

2=(

24

5

)2，
解得t=

108

25

，
此時(shí)，CQ=2t=

216

25

＜10=AC．
∴符合題意，
所以在運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，時(shí)間t=

108

25

秒．

點(diǎn)評：該題目考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式，關(guān)鍵是分析出輔助線的作法．