Question

16．定義：如圖①，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM=2，MN=3，求BN的長(zhǎng)；
（2）①如圖②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)M、N為邊AB上兩點(diǎn)，滿足∠MCN=45°，求證：點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)；
陽(yáng)陽(yáng)同學(xué)在解決第（2）小題時(shí)遇到了困難，陳老師對(duì)陽(yáng)陽(yáng)說(shuō)：要證明勾股分割點(diǎn)，則需設(shè)法構(gòu)造直角三角形，你可以把△CBN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°試一試．
請(qǐng)根據(jù)陳老師的提示完成第（2）小題的證明過(guò)程；
②已知：點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn)，其位置如圖③所示，請(qǐng)?jiān)贐C上畫(huà)一點(diǎn)D，使C、D是線段AB的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，畫(huà)出一種情形即可）；

（3）如圖④，已知：點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MN＞AM≥BN，△ABC、△MND分別是以AB、MN為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的同側(cè)，若MN=4，連接CD，則CD=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN即可．
（2）①只要證明△MCN≌△MCN'以及∠NAM=90°即可．
②如圖③作CM⊥AB，使得CM=AC，連接BM，作BM的垂直平分線EF交AB于D，點(diǎn)D就是所求的點(diǎn)．
（3）如圖④中，連接CM、CN，將△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF，將△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CFE只要證明四邊形EFDN是平行四邊形以及MN=NF就可以了．

解答 （1）解：①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，
∵點(diǎn) M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，
∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
綜上所述：BN=$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$；
（2）①證明：連接MN′，
∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=45°，
∵∠ACN'=∠BCN，
∴∠MCN'=∠ACN′+∠ACM=∠BCN+∠ACN=45°=∠MCN，
在△MCN和△MCN′中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM}\\{∠MCN′=∠MCN}\\{CN=CN′}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△MCN'，
∴MN'=MN，
∵∠CAN′=∠CAB=45°，
∴∠MAN′=90，
∴AN′²+AM²=MN′²，
即BN²+AM²=MN²，
∴點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
②如圖③，作CM⊥AB，使得CM=AC，連接BM，作BM的垂直平分線EF交AB于D，點(diǎn)D就是所求的點(diǎn)．
（3）如圖④中，連接CM、CN，將△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF，將△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CFE．
∵△ABC，△DMN都是等腰直角三角形，
∴∠DMN=∠A=45°，∠CBA=∠DNM=45°
∴DM∥AC，DN∥BC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴EF∥BC，
∴EF∥C∥ND，
∵DM=DN=EF，
∴四邊形EFND是平行四邊形，
∴ED=NF，
由（1）可知MN=NF，
∴MN=ED，
在RT△CDE中，∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴MN=$\sqrt{2}$CD．
∵M(jìn)N=4，
∴CD=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．